独学の数学|on Note

独自に学習した数学ノート

on Note

累乗

同じ数を繰り返し掛け算したものを累乗と呼ぶ。

例えば「3」を4回掛ける「3×3×3×3」は、累乗の書式を用いると「34」と書いて「3の4じょう」と読む。

aをn回掛け合わせた値「an」をaの累乗という。(nは自然数)

a(繰り返し掛ける数)のことを、n(何回掛け合わせるかを示す値)のことを指数と呼ぶ。

「34」では底が「3」、指数が「4」。そして3の累乗である。

2乗は平方、3乗は立方とも呼ぶ

2乗は平方、3乗は立方と言い換えられることがある。

例えば面積を表す単位「cm2」。面積を求める時に、縦×横というふうに「cm」を2回掛ける、という意味で「cm2」(平方センチメートル)となっている。

体積では、縦×横×高さで、「cm」を3回掛けているので「cm3」(立方センチメートル)となっている。

累乗の主な公式

  • am×an=a(m+n)
  • (am)n=amn
  • (ab)m=am・bm

計算する際の注意点

負の数が入った計算をする時は、指数がかかっている場所に注意する。

  • (-5)2=(-5)×(-5)=25
  • -52=-(5×5)=-25

上側の式は、かっこでくくった「-5」に指数がかかっているので「-5」を2回掛けた「25」となる。

下側の式は、「5」に指数がかかっていることになるので、「5」を2回掛けた「25」にマイナスが付き「-25」となる。

発行日:

べき乗

累乗は、n(指数)が自然数の場合だけをいう。つまり、「n=0」や「n=-2」、「n=1/2」などの自然数以外の数は考えないということ。

しかし実際は数学において、指数を、自然数だけでなく実数にまで拡張したケースも存在している。

指数を実数全体(さらには複素数全体)で考えた時の「an」をaのべき乗という。

発行日:

0乗,-1乗はどうなるのか

「23」「22」「21」「20」「2-1」「2-2」のように、指数が1ずつ減っているように並べる。

まず、「23」「22」「21」の、指数が正の数の場合で考える。

「23」「22」「21」をそれぞれ求めると「8」「4」「2」となる。これは、指数が1ずつ減るにつれて、2で割る((1/2)倍する)ことに等しい。

これをそのまま、指数が「0」または負の数になるケースまで延長する。

  • 20=21×(1/2)=2×(1/2)=1
  • 2-1=20×(1/2)=1×(1/2)=1/2
  • 2-2=2-1×(1/2)=(1/2)×(1/2)=1/4
  • 2-3=2-2×(1/2)=(1/4)×(1/2)=1/8

さらに表記を変えていくと、

  • 2-1=1/2=1/21=(1/2)1
  • 2-2=1/4=1/22=(1/2)2
  • 2-3=1/8=1/23=(1/2)3

とすることができる。

2-n=1/2n=(1/2)n

であり、マイナスn乗(指数が負の数)の時は、分数のn乗にする。

発行日:

メニュー